ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64644
Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Шахматная раскраска ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Клетки таблицы 5×7 заполнены числами так, что в каждом прямоугольнике 2×3 (вертикальном или горизонтальном) сумма чисел равна нулю. Заплатив 100 рублей, можно выбрать любую клетку и узнать, какое число в ней записано. Какого наименьшего числа рублей хватит, чтобы наверняка определить сумму всех чисел таблицы?


Решение

  Пусть в центральной клетке таблицы написано число a. Тогда сумма S всех чисел таблицы равна – a, поскольку сумму  S + a  можно разбить на шесть нулевых сумм по шесть слагаемых так, как показано на рисунке. Следовательно, достаточно узнать одно число – центральное.

  С другой стороны, таблица, заполненная числами a и – a в шахматном порядке, удовлетворяет условию задачи. Значит, сумма  S = – a  может быть любой, и хотя бы одно число узнать нужно.


Ответ

100 рублей.

Замечания

1. Чтобы определить S одним вопросом, необходимо узнать именно центральное число. Для доказательства рассмотрим следующую таблицу.

Она, очевидно, удовлетворяет условию. Ясно, что клетки, где стоят нули, не дают возможность определить сумму S всех чисел  (S = –a).  Также не несут нужной информации те клетки, которые можно получить из "нулевых" симметриями относительно центра или средних линий таблицы. Остаются подозрительными только крайние клетки в средней строке. Но в этой таблице числа в них отличаются знаком от S, а в приведённой в решении "шахматной" таблице совпадают с S.

2. 4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 35
Дата 2013/2014
вариант
Вариант весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .