ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 64644
УсловиеКлетки таблицы 5×7 заполнены числами так, что в каждом прямоугольнике 2×3 (вертикальном или горизонтальном) сумма чисел равна нулю. Заплатив 100 рублей, можно выбрать любую клетку и узнать, какое число в ней записано. Какого наименьшего числа рублей хватит, чтобы наверняка определить сумму всех чисел таблицы? РешениеПусть в центральной клетке таблицы написано число a. Тогда сумма S всех чисел таблицы равна – a, поскольку сумму S + a можно разбить на шесть нулевых сумм по шесть слагаемых так, как показано на рисунке. Следовательно, достаточно узнать одно число – центральное. С другой стороны, таблица, заполненная числами a и – a в шахматном порядке, удовлетворяет условию задачи. Значит, сумма S = – a может быть любой, и хотя бы одно число узнать нужно.Ответ100 рублей. Замечания1. Чтобы определить S одним вопросом, необходимо узнать именно центральное число. Для доказательства рассмотрим следующую таблицу. Она, очевидно, удовлетворяет условию. Ясно, что клетки, где стоят нули, не дают возможность определить сумму S всех чисел (S = –a). Также не несут нужной информации те клетки, которые можно получить из "нулевых" симметриями относительно центра или средних линий таблицы. Остаются подозрительными только крайние клетки в средней строке. Но в этой таблице числа в них отличаются знаком от S, а в приведённой в решении "шахматной" таблице совпадают с S.2. 4 балла Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|