Задача 64648

Темы:    [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Теорема синусов ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Полянский А.

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали перпендикулярны. На сторонах AD и CD отмечены соответственно точки M и N так, что углы ABN и CBM прямые. Докажите, что прямые AC и MN параллельны.

Решение

  Достаточно доказать, что  AM : MD = CN : ND.
  Первый способ. Заметим, что  ∠BAC = ∠DBN,  ∠BCA = ∠DBM,  ∠ABM = ∠CBN  (углы с взаимно перпендикулярными сторонами); обозначим эти углы α, β и φ.
  Имеем  AM : MD = S_AMD : S_MBD = AB sin φ : BD sin γ  Аналогично  CN : ND = BC sin φ : BD sin α.  Осталось заметить, что  AB : sin γ = BC : sin α  по теореме синусов для треугольника ABC.

  Второй способ. Проведём через точки A и C прямые, параллельные MB и NB соответственно. Они пересекутся в точке L. Тогда прямые СВ и AB будут высотами в треугольнике ALC. Значит, прямая LB – тоже высота. Следовательно, точка L лежит на прямой BD. Поэтому  AM : MD = LB : BD = CN : ND.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	35
Дата	2013/2014
вариант
Вариант	весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер	2