|
|
 |
Условие
Верно ли, что любой выпуклый многоугольник можно по прямой разрезать на два меньших многоугольника с равными периметрами и
а) равными наибольшими сторонами?
б) равными наименьшими сторонами?
Решение
а) Каждой точке X границы многоугольника соответствует "противоположная" точка X': эти две точки разбивают периметр многоугольника пополам. Следовательно, точкой X однозначно определяются прямая разбиения XX' и два многоугольника равных периметров – правый RX (справа от луча XX') и левый LX. То, что получаются именно многоугольники, следует из выпуклости и неравенства многоугольника.
Занумеруем стороны многоугольника. Для каждой точки X границы пусть di(X) – длина куска i-й стороны, входящего в RX (если вся сторона попала в RX, то di(X) = 0); d0(X) – длина отрезка XX'. Очевидно, все функции d0(X), d1(X), d2(X), ... непрерывны. Но тогда непрерывна и функция
dR(X) = max {d0(X), d1(X), d2(X), ...}, а это как раз длина наибольшей стороны многоугольника RX.
Аналогично непрерывна функция dL(X) – длина наибольшей стороны многоугольника LX. Непрерывная функция dR(X) – dL(X) в точках A и A'; принимает противоположные значения. Поэтому найдётся точка X, в которой dR(X) – dL(X) = 0, что и требовалось.
б) Покажем, что это нельзя сделать для треугольника ABC с длинами сторон 9, 10, 11. Его полупериметр равен 15, а площадь (по формуле Герона) равна Значит, наименьшая из высот этого треугольника больше 7.
Пусть разрез проходит через одну из вершин. Тогда длина разреза больше 7, а отрезки, на которые он делит противоположную сторону не больше
15 – 9 = 6. Значит, они и являются наименьшими сторонами двух полученных треугольников. Но эти отрезки, очевидно, не равны.
Пусть разрез XX' не проходит через вершину. Тогда в получившемся четырёхугольнике наименьшая сторона (пусть AX) не превосходит (15 – 9) : 2 = 3. Рассмотрим стороны получившегося треугольника, лежащие на сторонах исходного. Меньшая из них больше 15 – 11 = 4. Длина разреза
XX' > AX' – AX > 7 – 3 = 4. Итак, наименьшая сторона четырёхугольника меньше наименьшей стороны треугольника.
Ответ
а) Верно; б) неверно.
Замечания
1. Для примера в п. б) годится любой треугольник с различными, но достаточно близкими по длине сторонами.
2. Баллы: 4 + 4.
