Для каждого натурального n обозначим через  s(n)  сумму цифр его десятичной записи. Назовём натуральное число m особым, если его нельзя представить в виде  m = n + s(n).  (Например, число 117 не особое, поскольку  117 = 108 + s(108),  а число 121, как нетрудно убедиться, – особое.) Верно ли, что особых чисел существует лишь конечное число?

   Решение

Темы:    [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Правильные многоугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Будем называть змейкой ломаную, у которой все углы между соседними звеньями равны, причём для любого некрайнего звена соседние с ним звенья лежат в разных полуплоскостях от этого звена (пример змейки см. на рисунке). Барон Мюнхгаузен заявил, что отметил на плоскости 6 точек и нашёл 6 разных способов соединить их (пятизвенной) змейкой (вершины каждой из змеек – отмеченные точки). Могут ли его слова быть правдой?

Решение

Пример 1. Рассмотрим вершины правильного шестиугольника. Каждая из змеек состоит из двух противоположных сторон шестиугольника и трёх диагоналей; змейки получаются друг из друга поворотами и симметриями шестиугольника.

Пример 2. См. рис.

Ответ

Могут.

Источники и прецеденты использования