|
|
 |
Условие
Найдите все такие a и b, что и при всех x выполнено неравенство |a sin x + b sin 2x| ≤ 1.
Решение
Пусть f(x) = a sin x + b sin 2x.
Рассмотрим случай, когда числа a и b имеют один знак. В этом случае |a| + |b| = |a + b|,
Отсюда следует, что
, а в точке x = π/3 функция f(x) принимает либо свое наибольшее значение 1, либо свое наименьшее значение –1. Значит, точка x = π/3 является точкой экстремума для функции f(x). Поэтому 0 = f '(π/3) = a/2 – b. Следовательно, a = 2b, и учитывая равенство
, получаем
или
В случае, когда a и b имеют разные знаки, аналогично получаем откуда
и 0 = f '(2π/3) = – a/2 – b. Следовательно, a = –2b, откуда
или
Четыре найденные пары значений удовлетворяют условию задачи. Действительно, f '(x) = a(cos x ± cos 2x), где знак в скобках выбирается положительным, если a и b одного знака, и отрицательным иначе. Следовательно, во всех точках экстремума функции f(x) имеем |cos x| = |cos 2x|. Значит, при таких x выполнено также равенство |sin x| = |sin 2x|. Отсюда |sin x| = 2|sin x||cos x| и либо sin x = 0, либо |cos x| = ½. В первом случае
f(x) = 0, во втором и
Таким образом, во всех точках экстремума, а следовательно, и на всей прямой |f(x)| ≤ 1.
Ответ
,
.
