Задача 64730

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Условие

Автор: Гашков С.Б.

Докажите, что для любого натурального n найдётся натуральное число, десятичная запись квадрата которого начинается n единицами, а заканчивается какой-то комбинацией из n единиц и двоек.

Решение

  Положим  m₁ = 1  и построим по индукции такие числа m_n, что десятичная запись m_n оканчивается на единицу, а десятичная запись числа оканчивается на комбинацию из n единиц и двоек.
  Пусть число m_n уже построено. Рассмотрим числа вида  p_k = m_n + k·10ⁿ,  где  a = 0, 1, 2, ..., 9.  Десятичная запись каждого из них оканчивается на 1. Кроме того,    Посмотрим на последние  n + 1  цифр десятичной записи каждого из слагаемых этой суммы.
  Запись числа оканчивается на комбинацию из n единиц и двоек. Обозначим через a  (n+1)-ю с конца цифру числа . Нетрудно видеть, что десятичная запись 2km_n·10ⁿ оканчивается на n нулей, перед которыми идет последняя цифра числа 2k (так как m_n оканчивается на единицу). Десятичная же запись слагаемого k²·10²ⁿ оканчивается на 2n нулей. Следовательно, последние k цифр десятичной записи чисел    совпадают с последними n цифрами десятичной записи числа . При этом (n+1)-я с конца цифра числа    совпадает с последней цифрой суммы  a + 2k.  Если a нечётно, то для некоторого k сумма a + 2k оканчивается на единицу. Если a чётно, то для некоторого k сумма  a + 2k  оканчивается на двойку. Следовательно, одно из чисел p_k можно взять в качестве числа m_n+1.
  Пусть  c_n = 1...1·10⁴ⁿ,  где первый множитель записывается n единицами, и  d_n = c_n + 10⁴ⁿ.  Тогда    Следовательно, найдётся такое натуральное число q_n, которое не меньше  ,  но меньше  .  Десятичная запись квадрата такого числа начинается на n единиц.
  Рассмотрим число  q_n·10^l + m_n,  где l больше количества цифр в десятичных записях чисел 2p_nm_n и . Тогда первые n цифр десятичной записи числа     совпадают с первыми n цифрами десятичной записи числа    а последние n цифр – с последними цифрами десятичной записи числа . Следовательно, число  q_n·10^l + m_n  удовлетворяет условию задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2014
Номер	77
класс
Класс	11
задача
Номер	3