Задача 64788

Темы:    [ Произведения и факториалы ] [ Обыкновенные дроби ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8

Условие

Число    записали в виде несократимой дроби. Найдите её знаменатель.

Решение

  Так как  10⁵⁰ = 2⁵⁰·5⁵⁰,  то надо выяснить, какие из этих ста простых множителей сократятся.

  Заметим, что произведение 100! содержит 50 чётных сомножителей, значит, в разложении числа 100! на простые множители не меньше 50 двоек. Следовательно, 2⁵⁰ сократится.

  Среди целых чисел от 1 до 100 ровно двадцать чисел делятся на 5 и ровно четыре из них – на 25. Значит, в разложении числа 100! на простые множители число 5 содержится с показателем степени 24. Сократив дробь на 5²⁴, получим в знаменателе 5²⁶.

Ответ

5²⁶.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2013/14
класс
Класс	7
задача
Номер	7.2.1