Задача 64805

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Радикальная ось ] [ Средняя линия треугольника ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Условие

Автор: Нилов Ф.

В четырёхугольнике ABCD углы A и C – прямые. На сторонах AB и CD как на диаметрах построены окружности, пересекающиеся в точках X и Y. Докажите, что прямая XY проходит через середину K диагонали AC

Решение 1

Пусть M, N – середины AB, CD соответственно. Тогда степень точки K относительно окружности с диаметром AB равна  KM² – MA² = ¼ (CB² – AB²),  а относительно окружности с диаметром CD –  ¼ (AD² – CD²).  Так как  AB² + AD² = BD² = BC² + CD²,  эти степени равны, то есть точка K лежит на радикальной оси XY двух окружностей.

Решение 2

Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке Z. Центры данных в условии окружностей ω₁ и ω₂ – середины M и N отрезков AB и CD. Пусть ω – окружность ABCD с диаметром BD. Тогда AB – радикальная ось окружностей ω и ω₁, CD – радикальная ось окружностей ω и ω₂, а XY – радикальная ось окружностей ω₁ и ω₂, значит XY проходит через Z. Теперь достаточно доказать, что  ZK ⊥ MN.  Но  MK || BC ⊥ ZN  и  NK || AD ⊥ ZM.  Следовательно, K – ортоцентр треугольника MZN, и  ZK ⊥ MN.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2014
класс
Класс	9
задача
Номер	9.2