|
|
 |
Условие
Петя нашел сумму всех нечётных делителей некоторого чётного числа (включая 1), а Вася – сумму всех чётных делителей этого же числа (включая само число). Может ли произведение двух найденных чисел быть точным квадратом?
Решение
Пусть 2n – наибольшая степень двойки, на которую делится данное число. Если Петя получил набор его нечетных делителей
a1, a2, ..., am, то в Васином наборе чётных делителей должны быть все числа,
которые получаются из всех нечётных делителей умножением на каждую степень двойки от 21 до 2n. Таким образом, все числа из Васиного набора имеют вид: 2kai, где 1 ≤ k ≤ n, 1 ≤ i ≤ m.
Обозначим сумму Петиных чисел через A. Тогда сумма Васиных чисел равна A·(2 + 2² + 2³ + ... + 2n). Следовательно, произведение Петиной и Васиной сумм равно A²·(2 + 2² + 2³ + ...
+ 2n). Для того, чтобы это число являлось точным квадратом, необходимо, чтобы выражение в скобках являлось точным квадратом. Но записанная сумма степеней двойки при делении на 4 дает остаток 2, то есть она чётна, но не делится на 4.
Ответ
Не может.
