Задача 64832

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

В треугольнике АВС проведены высота ВН, медиана ВВ₁ и средняя линия А₁С₁ (А₁ лежит на стороне ВС, С₁ – на стороне АВ). Прямые А₁С₁ и ВВ₁ пересекаются в точке М, а прямые С₁В₁ и А₁Н – в точке N. Докажите, что прямые MN и BH параллельны.

Решение 1

Автор: Шамаев Н.

Пусть K – точка пересечения C₁A₁ и BH. Заметим, что MK и KA₁ – средние линии треугольников B₁BH и HBC соответственно. Следовательно,
MK : KA₁ = B₁H : HC.  Из параллельности прямых C₁N и BC по теореме Фалеса получаем  B₁H : HC = NH : HA₁.  Итак,  MK : KA₁ = NH : HA₁,  откуда по обратной теореме Фалеса следует параллельность прямых MN и BH.

Решение 2

Так как  А₁С₁ || AC,  то М – середина отрезка А₁С₁ (см. рис.). Кроме того,  С₁В₁ = ½ ВС = А₁С = А₁Н,  поскольку НА₁ – медиана прямоугольного треугольника ВНС. Таким образом, С₁В₁НА₁ – равнобокая трапеция, откуда следует, что треугольник А₁NС₁ – равнобедренный. Поэтому его медиана NM является и высотой. Значит,  MN ⊥ АС,  то есть  MN || BH.

Замечания

Доказать, что трапеция С₁В₁НА₁ – равнобокая, можно и по-другому. Точки А₁, В₁, С₁ и Н лежат на окружности девяти точек треугольника АВС, а любая вписанная трапеция – равнобокая.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2014/15
класс
Класс	9
задача
Номер	9.4.2