Задача 64859

Темы:    [ Построение треугольников по различным точкам ] [ Гомотетия: построения и геометрические места точек ] [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

Автор: Заславский А.А.

В треугольнике провели высоту из одной вершины, биссектрису из другой и медиану из третьей, отметили точки их попарного пересечения, а затем всё, кроме этих отмеченных точек, стерли (три отмеченные точки различны, кроме того, известно, какая является чьим пересечением). Восстановите треугольник.

Решение

  Пусть X, Y, Z – отмеченные точки. Нам требуется построить на прямых XY, YZ и ZX точки A, B и C соответственно так, чтобы в треугольнике ABC высота из A, биссектриса из B и медиана из C лежали соответственно на этих прямых.
  Выберем произвольную точку B' и проведём через неё прямую l₁, перпендикулярную XY; тогда  l₁ || BC  (см. рис.). Проведём через B' прямую, параллельную YZ, и отразим l₁ относительно этой прямой; мы получим прямую l₂, параллельную AB. На l₂ выберем произвольную точку A' и проведём через середину отрезка A'B' прямую, параллельную ZX, до пересечения с l₁ в точке C'. Построенный треугольник A'B'C' гомотетичен искомому (он переводится в ABC гомотетией, переводящей A' и B' в A и B соответственно; мы считаем параллельный перенос частным случаем гомотетии с бесконечно удалённым центром).

             

  Построим в этом треугольнике точки X', Y' и Z', соответствующие X, Y и Z соответственно. Из этих данных гомотетия однозначно восстанавливается, а после этого восстанавливается и исходный треугольник.

Замечания

Из построения видно, что задача имеет единственное решение.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2014
класс
Класс	10
задача
Номер	10.5