Задача 64864

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Авторы: Москвитин Н.А., Протасов В.Ю.

Дан прямоугольный треугольник ABC. На катете AB во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник ADB, а на гипотенузе AC во внутреннюю сторону – равносторонний треугольник AEC. Прямые DE и AB пересекаются в точке M. Весь чертёж стерли, оставив только точки A и B. Восстановите точку M.

Решение

При повороте на 60° треугольник ABC переходит в треугольник ADE. Значит, эти треугольники равны и  ∠ADE = 90°.  Поэтому треугольник ADM – прямоугольный с углом  A = 60°.  Следовательно,  AM = 2AD = 2AB  (см. рис.), то есть точка M симметрична A относительно B.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2014
тур
задача
Номер	1