Задача 64866

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Ромбы. Признаки и свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Москвитин Н.А.

Вокруг равнобедренного треугольника ABC с основанием AB описана окружность и в точке B проведена касательная к ней. Из точки C проведён перпендикуляр CD к этой касательной, также проведены высоты AE и BF. Докажите, что точки D, E, F лежат на одной прямой.

Решение

Пусть CH – третья высота треугольника. Так как  ∠CBD = ∠A = ∠B,  треугольники CBD и CBH равны, то есть  BD = BH.  Кроме того, EH – медиана прямоугольного треугольника AEB, значит,  EH = HB = BD  и  ∠BEH = ∠EBH = ∠EBD.  Следовательно, EDBN – параллелограмм (см. рис.) и  DE || AB.  Поскольку и  EF || AB,  прямые DE и EF совпадают.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2014
тур
задача
Номер	3