|
|
 |
Условие
Дана описанная четырёхугольная пирамида ABCDS. Противоположные стороны основания пересекаются в точках P и Q, причём точки A и B лежат на отрезках PD и PC. Вписанная сфера касается боковых граней ABS и BCS в точках K и L. Докажите, что если прямые PK и QL пересекаются, то точка касания сферы и основания лежит на отрезке BD.
Решение 1
Сделаем проективное преобразование, сохраняющее сферу и переводящее плоскость PQS в бесконечно удаленную. Тогда пирамида перейдёт в бесконечную четырёхугольную призму, а условие пересечения прямых PK и QL будет равносильно тому, что грани этой призмы, проходящие через AB и BC, образуют равные углы с плоскостью ABCD. Но тогда призма будет симметрична относительно плоскости, проходящей через BD и перпендикулярной ABCD. Значит, точка касания сферы с основанием лежит в плоскости симметрии.
Решение 2
Поскольку точки P, Q, K и L лежат в одной плоскости, то отрезки PL и QP пересекаются в точке R, принадлежащей прямой BS. Обозначим через T точку касания сферы и основания пирамиды. Заметим, что равны треугольники QBK и QBO; PBL и PBT (равны соответствующие касательные к сфере). Аналогично равны треугольники RKB и RLB. Значит, ∠QTB = ∠QKB = ∠PLB = ∠PTB. Но в любой описанной пирамиде ∠CTQ = ∠PTA и
∠CTD + ∠ATB = 180°, следовательно, ∠PTB = 180°.
