Задача 64903

Темы:    [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Средняя линия треугольника ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Рожкова М.

В треугольнике ABC точка M – середина AB, а точка D – основание высоты CD. Докажите, что  ∠A = 2∠B  тогда и только тогда, когда  AC = 2MD.

Решение

Пусть K – середина AC (см. рис.). Так как DK – медиана прямоугольного треугольника ADC, то  AK = KD  и  ∠ADK = ∠A.  С другой стороны, MK – средняя линия треугольника ABC, следовательно,  ∠DMK = ∠B.  Применяя к треугольнику DMK теорему о внешнем угле, получаем, что равенства
KD = DM  и  ∠KDA = 2∠KMD  равносильны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2012
тур
задача
Номер	1