Задача 64906

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Акопян А.В.

Дан треугольник ABC. M – середина стороны BC, а P – проекция вершины B на серединный перпендикуляр к AC. Прямая PM пересекает сторону AB в точке Q. Докажите, что треугольник QPB равнобедренный.

Решение

Пусть точка D симметрична B относительно серединного перпендикуляра к AC, а T – точка пересечения AB и CD. Тогда ACBD – равнобокая трапеция, и, значит, треугольник BDT – равнобедренный (см. рис.). Так как прямая PM содержит среднюю линию этого треугольника, треугольник QPB тоже равнобедренный.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2012
тур
задача
Номер	4