Задача 64941

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7

Условие

Можно ли в кружках (см. рисунок) разместить различные натуральные числа таким образом, чтобы суммы трёх чисел вдоль каждого отрезка оказались равными?

Решение

Пусть требуемая расстановка существует, S – сумма всех расставленных чисел, a и b – числа, стоящие в кружках, расположенных в каких-либо двух вершинах треугольника. Тогда для той вершины, в которой стоит число a, сумма чисел вдоль трёх отрезков, содержащих эту вершину, равна  S + 2a.  Аналогично для вершины, в которой стоит число b, эта сумма равна  S + 2b.  Так как суммы чисел вдоль каждого отрезка равны, то  S + 2a = S + 2b,  то есть  a = b.  Но это противоречит условию.

Ответ

Нельзя.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2014
класс
Класс	7
задача
Номер	7.5