|
|
 |
Условие
В пространстве (но не в одной плоскости) расположены шесть различных точек: A, B, C, D, E и F. Известно, что отрезки AB и DE, BC и EF, CD и FA попарно параллельны. Докажите, что эти же отрезки и попарно равны.
Решение
В плоскости АВС есть пара пересекающихся прямых АВ и ВС, которые соответственно параллельны прямым DE и EF в плоскости DEF. Следовательно, плоскости АВС и DEF параллельны, а CD и АF – отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, значит, CD = АF.
Аналогично доказывается, что AB = DE и BC = EF.
Замечания
Условие расположения точек не в одной плоскости существенно. Например, "отрежем" от каждой вершины правильного треугольника со стороной 4 по правильному треугольнику со стороной 1 и получим шестиугольник ABCDEF, в котором выполняется попарная параллельность отрезков, но не выполняется их равенство.
