Задача 64970

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Маркелов С.В.

Через вершину A равностороннего треугольника ABC проведена прямая, не пересекающая отрезок BC. По разные стороны от точки A на этой прямой взяты точки M и N так, что  AM = AN = AB  (точка B внутри угла MAC). Докажите, что прямые AB, AC, BN, CM образуют вписанный четырёхугольник.

Решение

Так как треугольник BAN – равнобедренный, то  ∠ANB = ½ ∠MAB  (см. рис.). Аналогично  ∠AMC = ½ ∠NAC.  Значит, сумма этих углов равна 60°, а угол между прямыми BN и CM равен 120°, что равносильно утверждению задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2011
класс
Класс	8
задача
Номер	8.5