Задача 64975

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Кеян Д.

В треугольнике ABC  ∠B = 2∠C.  Точки P и Q на серединном перпендикуляре к стороне CB таковы, что  ∠CAP = ∠PAQ = ∠QAB = ⅓ ∠A.
Докажите, что Q – центр описанной окружности треугольника CPB.

Решение

Пусть точка D симметрична A относительно PQ. Тогда ABCD – равнобокая трапеция, а диагональ BD – биссектриса угла B. Следовательно,
CD = DA = AB.  Кроме того,  ∠DAP = ∠C + ⅓ ∠A = ⅓ (∠A + ∠B + ∠C) = 60°.  Поэтому треугольник ADP – равносторонний и  AP = AB.  Поскольку AQ – биссектриса угла PAB, то  QP = QB = QC  (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2011
класс
Класс	9
задача
Номер	9.2