Задача 64979

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Пересекающиеся окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Долгирев П.

В треугольнике ABC  AA₀ и BB₀ – медианы, AA₁ и BB₁ – высоты. Описанные окружности треугольников CA₀B₀ и CA₁B₁ вторично пересекаются в точке M_c. Аналогично определяются точки M_a, M_b. Докажите, что точки M_a, M_b, M_c лежат на одной прямой, а прямые AM_a, BM_b, CM_c параллельны.

Решение

Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC, а H – точка пересечения его высот. Так как  ∠CA₀O = ∠CB₀O = ∠CA₁H = ∠CB₁H = 90°,  то CO и CH – диаметры окружностей CA₀B₀ и CA₁B₁ соответственно. Поэтому проекция C на прямую OH лежит на обеих окружностях, то есть совпадает с M_c (см. рис.). Отсюда, очевидно, следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2011
класс
Класс	9
задача
Номер	9.6