|
|
 |
Условие
Набор из нескольких чисел, среди которых нет одинаковых, обладает следующим свойством: среднее арифметическое каких-то двух чисел из этого набора равно среднему арифметическому каких-то трёх чисел из набора и равно среднему арифметическому каких-то четырёх чисел из набора. Каково наименьшее возможное количество чисел в таком наборе?
Решение
Пусть С(a1, ..., ak) – среднее арифметическое чисел (a1, ..., ak). Заметим, что добавление к набору числа, отличного от его среднего арифметического, меняет исходное среднее арифметическое набора.
Предположим, что (a, b, c, d) – удовлетворяющий условию набор из четырёх чисел, и С(a, b, c, d) = С(a, b, c) = С. Тогда d = С.
Набор из двух разных числа с тем же средним арифметическим не может содержать число d. Если же это, например, числа a и b, то c = C = d, что противоречит условию.
Следовательно, удовлетворяющего условию набора из четырёх чисел не существует.
Пример набора из пяти чисел: 1, 2, 3, 4, 5. Действительно,
С(2, 4) = С(2, 3, 4) = С(1, 2, 4, 5) = 3.
Ответ
5 чисел.
Замечания
Существуют и другие примеры.
