Задача 64999

Темы:    [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Три числа x, y и z отличны от нуля и таковы, что  x² – y² = yz  и  y² – z² = xz.  Докажите, что  x² – z² = xy.

Решение

  Сложив почленно два равенства из условия, получим:  x² – z² = yz + xz,  поэтому достаточно доказать, что  yz + xz = xy.
  Заметим, что  |y| ≠ |z|  (иначе  xz = 0,  что противоречит условию). Имеем
0 = x(y² – z² – xz) + z(x² – y² – yz) = x(y² – z²) – z(y² + yz) = (x(y – z) – yz)(y + z).  Так как  y + z ≠ 0,  то xy – xz – yz = 0,  что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2014/15
класс
Класс	8
задача
Номер	8.4.1