Задача 65004

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три окружности пересекаются в одной точке ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Нилов Ф.

Точки A', B', C' лежат на сторонах BC, CA, AB треугольника ABC. Точка X такова, что  ∠AXB = ∠A'C'B' + ∠ACB  и  ∠BXC = ∠B'A'C' + ∠BAC.
Докажите, что четырёхугольник XA'BC' – вписанный.

Решение

Пусть Y – отличная от C' точка пересечения окружностей AB'C' и BC'A'. Тогда, так как  ∠B'YC' = 180° – ∠BAC  и  ∠C'YA' = 180° – ∠CBA,  то
∠A'YB' = 180° – ∠ACB, то есть точка Y лежит также на описанной окружности треугольника CA'B'. Заметим теперь, что
∠AYB = ∠AYC' + ∠C'YB = ∠AB'C' + ∠C'A'B = 360° – ∠C'B'C – ∠CA'C' = ∠ACB + ∠A'C'B' = ∠AXB  (см.рис.). Аналогично  ∠BYC = ∠BXC,  то есть точки X и Y совпадают.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2010
тур
задача
Номер	3