Задача 65005

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Швецов Д.В.

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке N. Описанные окружности треугольников ANB и CND повторно пересекают стороны BC и AD в точках A₁, B₁, C₁, D₁. Докажите, что четырёхугольник A₁B₁C₁D₁ вписан в окружность с центром N.

Решение

Рассматривая вписанный пятиугольник A₁NB₁CD, получаем, что  A₁N = B₁N,  так как равны опирающиеся на эти дуги углы BDA и BCA. Аналогично,  NC₁ = ND₁.  Кроме того,  ∠NA₁A = ∠ACD = ∠ABD = ∠DD₁N  (см. рис.). Следовательно,  ND₁ = NA₁.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2010
тур
задача
Номер	4