Задача 65041

Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Перегруппировка площадей ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Условие

Автор: Протасов В.Ю.

Дана окружность с центром O и радиусом 1. Из точки A к ней проведены касательные AB и AC. Точка M, лежащая на окружности, такова, что четырёхугольники OBMC и ABMC имеют равные площади. Найдите MA.

Решение

Заметим, что точка лежит M на меньшей дуге BC (иначе OBMC либо находится внутри ABMC, либо вообще не является четырёхугольником). Тогда
S_OBMC – S_ABMC = S_OBC + 2S_MBC – S_ABC.  Значит, геометрическим местом точек, для которых  S_OMBC = S_AMBC,  является серединный перпендикуляр к отрезку OA. Поэтому  AM = OM = 1.

Ответ

1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2011
тур
задача
Номер	15