|
|
 |
Условие
На плоскости проведены n > 2 прямых общего положения (то есть никакие две прямые не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке). Эти прямые разрезали плоскость на несколько частей. Какое
а) наименьшее;
б) наибольшее
количество углов может быть среди этих частей?
Решение
а) Рассмотрим многоугольник T, являющийся объединением всех ограниченных частей. Ясно, что все углы являются вертикальными к углам T, меньшим 180°. Из формулы для суммы внешних углов сразу следует, что таких углов не меньше трёх.
Пример с тремя углами для n > 3 можно построить следующим образом. Возьмём точку D внутри треугольника ABC, впишем в угол ADB окружность достаточно малого радиуса, возьмём на меньшей из её дуг, образованных точками касания n – 4 точки и проведём касательные в этих точках. Эти касательные вместе с прямыми AC, BC, AD, BD образуют искомый набор.
б) Построим окружность, внутри которой лежат все точки пересечения. Данные прямые разбивают её на 2n дуг. Пусть AB, BC – две соседние дуги, X, Y – точки пересечения прямой, проходящей через B, с прямыми, проходящими через A и C. Тогда, если X лежит на отрезке BY, то часть плоскости, содержащая дугу BC, не является углом, то есть из двух частей, содержащих соседние дуги, углом может быть только одна. Следовательно, количество углов не превосходит n, причём равенство возможно только тогда, когда углом является часть, содержащая каждую вторую дугу. Но при чётном n это означает, что есть два угла, содержащие противоположные дуги, то есть образованные одной и той же парой прямых. Это, очевидно, невозможно.
При нечётном n прямые, содержащие стороны правильного n-угольника, разбивают плоскость на части, из которых n являются углами. Очевидно, что можно добавить к ним еще одну прямую так, чтобы количество углов не уменьшилось.
Ответ
а) 3; б) n при нечётном n, n – 1 при чётном n.
