|
|
 |
Условие
Существует ли неравнобедренный треугольник, у которого медиана, проведённая из одной вершины, биссектриса, проведённая из другой, и высота, проведённая из третьей, равны?
Решение
Зафиксируем вершины A, B, построим точку D, симметричную A относительно B, и возьмём точку C так, что ∠BCD = 150°. Тогда высота AK треугольника ABC равна высоте DH треугольника BCD, то есть ½ CD. С другой стороны, медиана BM является средней линией треугольника ACD, то есть тоже равна ½ CD (см. рис.). Будем теперь двигать точку C по дуге BD, вмещающей угол 150°. Когда C стремится к B, биссектриса CL угла ACB стремится к нулю, а медиана BM – к ½ AB. Когда C стремится к D, BM стремится к нулю, а CL ≥ BC. Значит, существует положение точки C, при котором CL = BM = AK.
Ответ
Существует.
Замечания
Нетрудно видеть, что при движении C от B к D биссектриса возрастает, а высота и медиана убывают. Следовательно, углы искомого треугольника определяются однозначно.
