|
|
 |
Условие
Дан остроугольный треугольник ABC.
Найдите на сторонах BC, CA, AB такие точки A', B', C', чтобы наибольшая сторона треугольника A'B'C' была минимальна.
Решение
Докажем сначала, что искомый треугольник – педальный, то есть перпендикуляры, восставленные из его вершин к соответствующим сторонам ABC, пересекаются в одной точке. Действительно, нетрудно проверить, что для произвольного треугольника A'B'C' описанные окружности треугольников AB'C', BC'A' и CA'B' пересекаются в некоторой точке P. Пусть A", B", C" – проекции P на BC, CA, AB. Так как
∠A'PB' = ∠A"PB" = 180° – ∠C и т.д., то ∠A"PA' = ∠B"PB' = ∠C"PC', и, значит, треугольник A"B"C" получается из A'B'C' поворотной гомотетией с коэффициентом, меньшим 1.
Рассмотрим теперь точку T, педальный треугольник которой правильный, и докажем, что педальный треугольник любой другой точки P имеет хотя бы одну сторону большей длины. Пусть A', B' – проекции P на BC и AC. Тогда A'B' = PC sin C, то есть A'B' не превосходит стороны педального треугольника T тогда и только тогда, когда PC ≤ TC. Аналогично должны выполняться неравенства PB ≤ TB, PA ≤ TA. Очевидно, что три эти неравенства выполнены только для точки T.
Построение точки T описано в задаче 108009.
