|
|
 |
Условие
В выпуклом четырёхугольнике ABCD некоторая точка диагонали АС принадлежит серединным перпендикулярам к сторонам АВ и CD, а некоторая точка диагонали BD принадлежит серединным перпендикулярам к сторонам AD и ВС. Докажите, что ABCD – прямоугольник.
Решение
Пусть E – точка на диагонали АС, принадлежащая серединным перпендикулярам к сторонам АВ и CD, а F – точка диагонали BD, принадлежащая серединным перпендикулярам к сторонам AD и ВС. По неравенству треугольника EB + ED ≥ BD, FA + FC ≥ AC. Из условия следует, что EA = EB, EC = ED, FA = FD, FB = FC. Отсюда АС = EA + EC = EB + ED ≥ BD. Аналогично BD ≥ AC, откуда EB + ED = BD = AC = EA + EC. Поскольку EB + ED = BD, только когда точка E лежит на отрезке BD, точка E лежит на обеих диагоналях четырёхугольника ABCD, то есть является точкой их пересечения. Аналогично точкой пересечения диагоналей является точка F, значит, она совпадает с E. Следовательно, EA = EB = EC = ED, что и требовалось.
