Условие
При всяком ли натуральном n > 2009 из дробей 
можно выбрать две пары дробей с одинаковыми суммами?
Решение
Каждая из данных дробей имеет вид 
, где 1 ≤ a ≤ n. Стало быть, достаточно найти такие различные натуральные числа a, b, c и d, не большие 2009, для которых 
. Убрав минус единицы и поделив затем на n + 1, получим равносильное равенство 
. Осталось подобрать удовлетворяющие ему дроби. Это можно сделать, взяв любое равенство двух сумм различных натуральных слагаемых, НОК которых не больше 2009, и поделив его на этот НОК. Например, поделив равенство 1 + 4 = 2 + 3 на 12, получим 
.
Ответ
При всяком.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов) |
|
год/номер |
|
Номер |
1 (2009 год) |
|
тур |
|
задача |
|
Номер |
2 |
