|
|
 |
Условие
В треугольнике ABC стороны AB и BC равны. Точка D внутри треугольника такова, что угол ADC вдвое больше угла ABC.
Докажите, что удвоенное расстояние от точки B до прямой, делящей пополам углы, смежные с углом ADC, равно AD + DC.
Решение
Пусть l – биссектриса углов, смежных с углом ADC, точка K – проекция B на l, а точки B' и C' симметричны соответственно точкам B и C относительно l. Тогда BB' = 2BK – удвоенное расстояние от B до l. Кроме того, точка D лежит на отрезке AC' (так как прямые DA и DC симметричны относительно l), и AC' = AD + DC' = AD + DC. Из той же симметрии получаем ∠AC'B' = ∠DCB, ∠BB'C' = ∠B'BC. Пусть отрезки BB' и AC' пересекаются в точке O. Из прямоугольного треугольника OKD получаем ∠BOC' = ∠KOD = 90° – ∠ODK = ½ (180° – ∠CDC') = ½ ∠
ADC = ∠ABC.
Значит, ∠ABB' = ∠ABC – ∠B'BC = ∠BOC' – ∠OB'C = ∠OC'B'.
Аналогично ∠BAO = ∠BOC' – ∠ABO = ∠ABC – ∠ABO = ∠B'BC = ∠BB'C'.
Таким образом, треугольники ABO и B'C'O равны по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда BB' = BO + OB' = C'O + OA = AC' = AD + DC, что и требовалось.
