Задача 65076

Темы:    [ Средние величины ] [ Простые числа и их свойства ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Волченков С.Г.

Занумеруем все простые числа в порядке возрастания:  p₁ = 2,  p₂ = 3,  ... .
Может ли среднее арифметическое     при каком-нибудь  n ≥ 2  быть простым числом?

Решение

Пусть  p₁ + ... + p_n = nq   (*),  где q – простое число. Поскольку  n > 1,  то  q > 2.  Поэтому при чётном n левая часть равенства (*) нечётна, а правая – чётна, при нечётном n – наоборот. Противоречие.

Ответ

Не может.

Замечания

Фактически доказано более сильное утверждение: подобное среднее арифметическое не может быть нечётным.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
год/номер
Номер	2 (2010)
тур
задача
Номер	1