ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65079
Темы:    [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
[ Неравенство Коши ]
[ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В вершинах куба расставили числа 1², 2², ..., 8² (в каждую из вершин – по одному числу). Для каждого ребра посчитали произведение чисел в его концах. Найдите наибольшую возможную сумму всех этих произведений.


Решение

  Раскрасим вершины куба в два цвета так, чтобы концы каждого ребра были разноцветными. Пусть в вершинах одного цвета стоят числа a1, a2, a3, a4, а в вершинах другого – числа b1, b2, b3, b4, причём числа с одинаковыми номерами стоят в противоположных вершинах. Тогда, как легко проверить, указанная в условии сумма произведений будет равна  (a1 + a2 + a3 + a4)(b1 + b2 + b3 + b4) – (a1b1 + a2b2 + a3b3 + a4b4).  По неравенству Коши

(a1 + a2 + a3 + a4)(b1 + b2 + b3 + b4) ≤ ¼ (a1 + a2 + a3 + a4 + b1 + b2 + b3 + b4)² = ¼ (1² + 2² + ... + 8²)²,
причём равенство достигается только при  a1 + a2 + a3 + a4 = b1 + b2 + b3 + b4   (1).
  С другой стороны, сумма  S = a1b1 + a2b2 + a3b3 + a4b4,  где ai и bi – числа 1², 2², ..., 8², минимальна тогда, когда 8² умножается на 1², 7² – на 2², 6² – на 3², 5² – на 4²   (2).   В самом деле, пусть 8² умножается на a², а 1² – на b². Понятно, что умножив 8² на 1², а a² – на b², мы уменьшим сумму S. Затем аналогично показываем, что мы уменьшим S, умножив 7² на 2², и т.д.
  В силу того, что  1² + 4² + 6² + 7² = 102 = 2² + 3² + 5² + 8²,  можно добиться одновременного выполнения условия максимальности (1) и условия минимальности (2): для этого надо в вершины одного цвета поставить числа 1², 4², 6² и 7², а в вершины другого – остальные таким образом, чтобы 8² и 1², 7² и 2², 6² и 3², 5² и 4² стояли в противоположных вершинах. Такая расстановка и даст искомый максимум сумм произведений, равный
102² – (8²·1² + 7²·2² + 6²·3² + 5²·4²) = 10404 – 984 = 9420.


Ответ

9420.

Замечания

Тот факт, что числа 1², 2², ..., 8² можно разбить на две группы по 4 числа с равными суммами чисел, не случаен. Заметим, что  (n + 1)² – n² = 2n + 1,  поэтому  ((n + 3)² – (n + 2)²) – ((n + 1)² – n2) = (2n + 5) – (2n + 1) = 4  при любом n. Отсюда  4² – 3² – 2² + 4² = 8² – 7² – 6² + 5².

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
год/номер
Номер 2 (2010)
тур
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .