|
|
 |
Условие
Среди 100 монет есть четыре фальшивых. Все настоящие монеты весят одинаково, фальшивые – тоже, фальшивая монета легче настоящей.
Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь найти хотя бы одну настоящую монету?
Решение
Разделим 100 монет на две группы (№1 и №2) по 33 монеты и одну группу (№3) из 34 монет. Первым взвешиванием положим на чаши весов группы 1 и 2. Если одна из чаш оказалась тяжелее другой, то на ней – не более одной фальшивой монеты. Тогда вторым взвешиванием можно сравнить любые две монеты из этой группы друг с другом: если одна из них тяжелее, то она настоящая, а если обе одинаковы, то обе являются настоящими.
Если же после первого взвешивания оказалось, что две группы из 33 монет весят поровну, то это означает, что фальшивые монеты распределились по трём группам одним из таких способов: (0, 0, 4), (1, 1, 2) или (2, 2, 0). Второе взвешивание делаем так: добавим к одной из групп одну монету с другой чаши, а все остальные монеты с другой чаши снимем и заменим на 34 монеты из группы №3. У этого взвешивания возможны три исхода.
1) 1 + 33 < 34. Это значит, что слева фальшивых монет больше, чем справа. Значит, имеет место случай (2, 2, 0), то есть все 34 монеты – настоящие.
2) 1 + 33 = 34. Это значит, что фальшивых монет слева и справа поровну. Значит, имеет место случай (1, 1, 2), причём единственную фальшивую монету из второй кучки мы как раз переложили к первой кучке. Тогда остальные 32 монеты из второй кучки – настоящие.
3) 1 + 33 > 34. Это значит, что имеет место либо случай (0, 0, 4), либо случай (1, 1, 2), в котором переложенная монета не является фальшивой. В обоих случаях переложенная монета – настоящая.
Замечания
Есть и другие способы.
