Задача 65142
|
|
 |
Условие
Из натуральных чисел от 1 до 100 выбрано 50 различных. Оказалось, что сумма никаких двух из них не равна 100.
Верно ли, что среди выбранных чисел всегда найдется квадрат какого-нибудь целого числа?
Решение
Если среди выбранных есть число 100, то оно и будет точным квадратом. Если же 100 не выбрано, то все числа от 1 до 99, кроме числа 50, можно разбить на 49 пар так, чтобы сумма чисел в каждой паре равнялась 100: 1 + 99, 2 + 98, ..., 49 + 51. Из условия следует, что из каждой такой пары выбрано ровно одно число (а также выбрано число 50). Но в паре 36 + 64 оба слагаемых являются квадратами, и хотя бы одно из них должно быть среди выбранных.
Ответ
Верно.
