|
|
 |
Условие
На каждой из ста карточек записано по одному числу, отличному от нуля, так, что каждое число равно квадрату суммы всех остальных.
Какие это числа?
Решение
Каждое из этих чисел является квадратом числа, отличного от нуля, поэтому все записанные числа положительны. Докажем, что все они одинаковы.
Первый способ. Предположим, что число, записанное на одной из карточек, больше числа, записанного на другой. Отложим карточку с большим числом в сторону. По условию это число равно квадрату суммы остальных чисел. Поменяем местами карточки с большим и меньшим числами. Тогда отложенное число уменьшилось, а сумма всех остальных чисел (а значит и её квадрат) увеличилась, и равенство уже выполняться не может.
Второй способ. Пусть записаны числа a1, a2, ..., a100. Докажем, например, что a1 = a2.
a2 – a1 = (a1 + a3 + ... + a100)² – (a2 + a3 + ... + a100)² = (a1 + a2 + 2a3 + ... + 2a100)(a1 – a2). Сумма в левой скобке положительна, поэтому числа a2 – a1 и a1 – a2 либо оба равны нулю, либо имеют один знак. Последнее невозможно.
Обозначим число, записанное на каждой карточке, через x. Тогда (99x)² = x. Так как x ≠ 0, то x = 1/99².
Ответ
Сто чисел, каждое из которых равно 1/99².
