Задача 65179
|
|
 |
Условие
Найдите все строго возрастающие последовательности натуральных чисел a1, a2, ..., an, ..., в которых a2 = 2 и anm = anam для любых натуральных n и m.
Решение
Последовательность аn = n, очевидно, удовлетворяет условию.
Предположим, что есть какая-то другая последовательность. Так как a1 < a2, то a1 = 1. Ясно, что an ≥ n. Рассмотрим наименьшее n, при котором аn > n. Если n = 2m, то аn = a2am = 2m = n. Если же n = 2m + 1 (m ≥ 1), то n < аn < an+1 = a2m+2 = a2am+1 = 2(m + 1) = n + 1, то есть целое число аn находится между n и n + 1.
В обоих случаях мы пришли к противоречию.
Ответ
аn = n.
