|
|
 |
Условие
Будем называть натуральное число почти квадратом, если это либо точный квадрат, либо точный квадрат, умноженный на простое число.
Могут ли 8 почти квадратов идти подряд?
Решение
Пусть такие числа нашлись.
Первый способ. Cреди восьми последовательных натуральных чисел найдутся числа, дающие остатки 2 и 6 при делении на 8. Они делятся на 2, но не делятся на 4, так что они обязаны иметь вид 2k² и 2m². Тогда 2k² – 2m² = 4, то есть k² – m² = 2, что невозможно. Противоречие.
Второй способ. Снова рассмотрим число n, дающее остаток 6 при делении на 8. Тогда n = 8k + 6 = 2m², то есть m² = 4k + 3. Но квадрат целого числа не может давать остаток 3 при делении на 4.
Ответ
Не могут.
Замечания
1. Пять почти квадратов подряд идти могут, например, (1, 2, 3, 4, 5). Более того, в первом миллионе чисел таких последовательностей из пяти почти квадратов ровно 4: (1, 2, 3, 4, 5), (16, 17, 18, 19, 20); (97, 98, 99, 100, 101) и (241, 242, 243, 244, 245). Автору задачи неизвестно, могут ли идти подряд шесть или семь почти квадратов.
2. Можно показать, что почти квадраты не могут давать остатки 6, 10, 15, 21, 22, 24, 30, 33 и 34 при делении на 36. Таким образом, если найдётся 7 подряд идущих почти квадратов, то они могут давать только остатки –1, 0, 1, ..., 5 при делении на 36. Те среди них, что дают остатки 2 и 3, могут быть только лишь вида 2x² и 3y² соответственно, таким образом, семерка подряд идущих почти квадратов даёт решение уравнения 3y² – 2x² = 1, которое сводится к уравнению Пелля. Более того, ни одно из наших чисел 2x² и 3y² не делится на 5. Действительно, если какое-то из них делится на 5, то второе имеет вид 5k ± 1, что невозможно для чисел вида 2x² и 3y². Значит, это два подряд идущих ненулевых остатка по модулю 5. Но 2 и 3 – квадратичные невычеты по модулю 5, а 1 и 4 – вычеты, значит, 2x² и
3y² тоже невычеты и они идут подряд. Итак, это в точности 2 и 3 по модулю 5. Отсюда получаем, что то число, кратное 36, среди найденной семерки почти квадратов делится еще и на 5, значит, то, сравнимо с 5 (mod 36), тоже делится на 5 и одно из этих двух кратных пяти чисел не делится на 25, а следовательно, имеет вид 5z². Таким образом, существование семи идущих подряд почти квадратов влечет за собой решение системы уравнений, сводящихся к уравнениям Пелля, а именно 3y² – 2x² = 1 и
5z² – 2x² = 3 или –2. Отметим, что у одной из этих систем (где 5z² – 2x² = 3) – есть решения, например, (1, 1, 1) или (11, 9, 7).
