Задача 65207

Темы:    [ Показательные функции и логарифмы (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Бегунц А.В.

Сумма нескольких не обязательно различных положительных чисел не превосходила 100. Каждое из них заменили на новое следующим образом: сначала прологарифмировали по основанию 10, затем округлили стандартным образом до ближайшего целого числа и, наконец, возвели 10 в найденную целую степень. Могло ли оказаться так, что сумма новых чисел превышает 300?

Решение

  Пусть исходные числа равны 32, 32, 32 и 4. Тогда их сумма равна 100. Поскольку  32² > 10³,  то  lg32 > lg10^3/2 = 1,5. С другой стороны,
lg32 < lg100 = 2.  Следовательно, результат округления lg32 равен 2, значит, соответствующее новое число есть 10² = 100.
  Поскольку  4² > 10,  то  lg4 > lg10^1/2 = 0,5,  а так как  lg4 < lg10 = 1,  результат округления lg4 равен 1, значит, соответствующее новое число есть
10¹ = 10.
  Таким образом, сумма новых чисел равна 310 > 300.

Ответ

Могло.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2015
Номер	78
класс
Класс	11
задача
Номер	1