Задача 65209

Темы:    [ Задачи на смеси и концентрации ] [ Линейные рекуррентные соотношения ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Автор: Бородин П.А.

У Ивана-царевича есть два сосуда емкостью по 1 л, один из которых полностью заполнен обычной водой, а в другом находится a л живой воды,
0 < a < 1.  Он может переливать только из сосуда в сосуд любой объем жидкости до любого уровня без переполнений и хочет за конечное число таких переливаний получить 40-процентный раствор живой воды в одном из сосудов. При каких значениях a Иван-царевич сможет это сделать? Считайте, что уровень жидкости в каждом из сосудов можно точно измерить в любой момент времени.

Решение

  Если  a ≤ 0,4,  то искомый раствор получается во втором сосуде после переливания из первого сосуда во второй 1,5a л обычной воды.
  Пусть  0,4 < a < ⅔.  Перельём  1 – a л  воды из первого сосуда во второй и будем последовательно делать такие двойные переливания: из второго сосуда в первый до краев, а затем из первого во второй до краев. Если перед таким двойным переливанием во втором сосуде содержится x л живой воды и  1 – x л  обычной воды, а в первом сосуде, соответственно,  a – x л  живой воды и x л обычной воды, то после первого переливания в первом сосуде станет  a – x + (1 – a)x = a – ax л  живой воды (и он будет полный), а во втором останется ax л живой воды. После второго переливания второй сосуд наполнится доверху, и живой воды в нём станет  ax + (1 – a)(a – ax) = a²x+ a – a² л.
  Таким образом, количество a_n живой воды во втором сосуде после n-го двойного переливания выражается рекуррентно:  a_n = a²a_n–1 + a – a²,  a₀ = a.
  Из рисунка, выражающего динамику a_n, видно, что числа a_n монотонно убывают к абсциссе ^a/_1+a пересечения прямых  y = a²x + a – a²  и  y = x.

  Поскольку  a < ⅔,  имеем  ^a/_1+a < 0,4,  и найдётся такое k, что  a_k ≤ 0,4 < a_k–1.  Тогда, прерывая второе переливание в k-м двойном переливании в нужный момент, мы получим искомый 40-процентный раствор во втором сосуде (возможно, неполном).
  Пусть теперь  ⅔ < a < 1.  Будем последовательно делать такие двойные переливания: из первого сосуда во второй до краев, а затем из второго в первый до краев. Аналогично предыдущему показывается, что количество b_n живой воды в первом сосуде после n-го такого двойного переливания выражается рекуррентно:  b_n = a²b_n 1 + a – a²,  b₀ = 0.
  Из рисунка видно, что числа b_n монотонно возрастают к той же абсциссе ^a/_1+a пересечения прямых  y = a²x + a – a²  и  y = x.  Поскольку  a > ⅔,  имеем  ^a/_1+a > 0,4,  и найдётся такое k, что  b_k–1 < 0,4 ≤ b_k. Тогда, прерывая второе переливание в k-м двойном переливании в нужный момент, мы получим искомый 40-процентный раствор живой воды в первом сосуде (возможно, неполном).
  Наконец, покажем, что при  a = ⅔  требуемый раствор нельзя получить ни в одном из сосудов. Предположим противное: такой раствор получился в результате каких-то переливаний в одном из сосудов – скажем, в первом, – впервые. Тогда во втором сосуде раствор не 40-процентный, так как при последнем переливании (из второго сосуда в первый) процентное содержание живой воды во втором сосуде не менялось. Но если в первом сосуде получилось x л 40-процентного раствора живой воды, то есть 0,4x л живой и 0,6x л обычной воды, то во втором сосуде живой воды  ⅔ – 0,4x л,  а обычной воды  1 – 0,6x л,  то есть в нём тоже 40-процентный раствор живой воды. Противоречие.

Ответ

a ≠ ⅔.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2015
Номер	78
класс
Класс	11
задача
Номер	3