Задача 65217

Темы:    [ Деление с остатком ] [ Простые числа и их свойства ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8

Условие

Известно, что остаток от деления некоторого простого числа на 60 равен составному числу. Какому?

Решение

Так как  60 = 2²·3·5,  то остаток не может быть кратен числам 2, 3 или 5 (иначе исходное число обладало бы тем же свойством и не могло бы оказаться простым). Так как остаток меньше чем 60 и является произведением хотя бы двух простых множителей, то он равен 7·7.  Другие варианты невозможны, поскольку уже следующее произведение двух простых чисел (7·11) больше 60.

Ответ

49.

Замечания

Описанная ситуация возможна. Например,  109 = 60·1 + 49.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2014/15
класс
Класс	7
задача
Номер	7.2.3