Задача 65271

Тема:    [ Непрерывное распределение ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Аня, Боря и Вася решили пойти на "Ёлку". Они договорились встретиться на автобусной остановке, но не знают, кто во сколько придёт. Каждый из них может прийти в случайный момент времени с 15.00 до 16.00. Вася самый терпеливый из всех: если он придёт и на остановке не будет ни Ани, ни Бори, то он будет ждать кого-нибудь из них 15 минут, и если никого не дождётся, пойдёт на "Ёлку" один. Боря менее терпеливый: он будет ждать лишь 10 минут. Аня самая нетерпеливая: она вообще не будет ждать. Однако если Боря и Вася встретятся, то они будут ждать Аню до 16.00. Какова вероятность того, что на "Ёлку" они пойдут все вместе?

Решение

  Так как Аня совсем не будет ждать, то ребята все вместе пойдут на "Ёлку" только если Аня придёт последней. Очевидно, что эти события независимые, следовательно, P({все трое пойдут на "Ёлку" вместе}) = P({Аня придёт последней})P({Боря и Вася встретятся}).
  Первая вероятность, очевидно, равна ⅓.
  Вторая вероятность находится геометрически (см. рис.):

  Фигура, обведённая ч`рным, есть множество тех времен прихода обоих, при которых они встретятся. Таким образом, вероятность равна отношению площади выделенной части к площади квадрата 12×12. В результате получим  
  Следовательно, искомая вероятность равна   ⅓·0,3715 ≈ 0,124..

Ответ

≈0,124.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата	2008
задача
Номер	14