|
|
 |
Условие
В здании n этажей и две лестницы, идущие от первого до последнего этажа. На каждой лестнице между каждыми двумя этажами на промежуточной лестничной площадке есть дверь, разделяющая этажи (с лестницы на этаж пройти можно, даже если дверь заперта). Комендант решил, что слишком много открытых дверей – это плохо, и запер ровно половину дверей, выбрав двери случайным образом. Какова вероятность того, что можно подняться с первого этажа на последний, проходя только через открытые двери?
Решение
Двери, ведущие с этажа на следующий этаж, будем называть дверьми этажа k (k = 1, 2, ..., n – 1).
Если обе двери этажа закрыты (на обеих лестницах), то попасть с этажа k на этаж k + 1 нельзя, а следовательно, нельзя попасть и с первого на последний. Если на каждом этаже хотя бы одна из дверей открыта, пройти можно.
Значит, событие A = {путь возможен} осуществляется тогда и только тогда, когда нет двух одновременно закрытых дверей на одном и том же уровне. Но дверей закрыта ровно половина. Таким образом, при осуществлении события A, если какая-то дверь на левой лестнице открыта, то соответствующая дверь на правой лестнице закрыта. Всего таких комбинаций 2n–1.
Общее число способов закрыть половину из 2(n – 1) дверей равно . Таким образом, P(A) =
Ответ
