|
|
 |
Условие
На клавиатуре калькулятора есть цифры от 0 до 9 и знаки двух действий (см. рисунок). Вначале на дисплее написано число 0. Можно нажимать любые клавиши. Калькулятор выполняет действия в последовательности нажатий. Если знак действия нажать подряд несколько раз, то калькулятор запомнит только последнее нажатие.
а) Кнопка со знаком умножения сломалась и не работает. Рассеянный Учёный нажал несколько кнопок в случайной последовательности. Какой результат получившейся цепочки действий более вероятен – чётное число или нечётное?
б) Решите предыдущую задачу, если кнопку со знаком умножения
починили.
Решение
а) Обозначим через A событие "результат нечётный".
Пусть с вероятностью p предпоследнее число нечётно. Тогда результат останется нечётным, только если прибавить чётное число. Значит, условная вероятность нечётного результата равна p·½.
Предпоследнее число было чётным с вероятностью 1 – p.
Результат будет нечётным, только если последнее слагаемое нечётно.
Значит, в этом случае условная вероятность события A равна (1 – p)·½.
Складывая вероятности этих несовместных событий, получим:
P(A) = ½
б) Будем говорить, что Учёный проделал n шагов, если он набрал n чисел, а между ними n – 1 раз совершил какие-то арифметические действия. Обозначим через pn вероятность того, что после n шагов на калькуляторе будет нечётное число. Тогда pn+1 = ¼ + ¼ pn (см. задачу 65336). Отсюда видно, что если pn ≤ ½, то pn+1 < ½. Поскольку, очевидно, p1 = ½, то pn < ½ при n > 1.
Ответ
а) Равновероятен; б) вероятность чётного числа больше.
Замечания
Как показано в задаче 65336, при большом количестве действий вероятность pn близка к ⅓.
