Задача 65302

Темы:    [ Дискретное распределение ] [ Условная вероятность ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Учительница математики предложила изменить схему голосования на конкурсе спектаклей (см. задачу 65299). По её мнению, нужно из всех 2n мам выбрать случайным образом жюри из 2m человек  (2m ≤ n).  Найдите вероятность того, что лучший спектакль победит при таких условиях голосования.

Решение

  Назовём маму честной, если она голосует за лучший спектакль.

  Поскольку всего нечестных мам n и столько же честных, вероятность того, что в жюри попало q нечестных мам и  2m – q  честных, равна .
  Если это событие осуществилось, то судьба конкурса зависит от распределения голосов нечестных мам. Если t детей нечестных мам играет в худшем спектакле, то этот худший спектакль получит ровно t голосов, тогда как все прочие голоса числом  2m – t  будут отданы лучшему спектаклю. Таким образом, лучший спектакль побеждает, если  2m – t > t,  то есть если  t < m.
  Вероятность того, что худший спектакль получит ровно t голосов, равна вероятности того, что ровно t детей нечестных мам из жюри играет в этом спектакле.
  Следовательно, вероятность комбинации, при которой в жюри собирается q нечестных мам, и худший спектакль получает меньше голосов, чем лучший, равна  .
  Суммируя эти вероятности по всем возможным распределениям нечестных мам, получаем, что искомая вероятность равна

Ответ

Замечания

Расчеты по этой формуле можно немного укоротить, если заметить, что при  q < m  у худшего спектакля нет шансов, и поэтому (а также из чисто комбинаторных соображений)  .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата	2010
задача
Номер	10