|
|
 |
Условие
Правильная игральная кость бросается много раз. Найдите математическое ожидание числа бросков, сделанных до того момента, когда сумма всех выпавших очков достигнет 2010 (то есть стала не меньше 2010).
Решение
Пусть Xn – число бросков, которые пришлось сделать, чтобы сумма очков достигла n. Введём индикатор Ik: Ik равно 1, если первый бросок дал k очков, и 0 в противном случае. Очевидно, EIk = 1/6.
Ясно, что Xn = Xn–1I1 + Xn–2I2 + ... + Xn–6I6 + 1. Величина Xn–k не зависит от результата первого броска. Значит, величины Xn–k и Ik независимы. Переходя к математическим ожиданиям, получим: EXn = EXn–1EI1 + EXn–2EI2 + ... + EXn–6EI6 + 1 = 1/6 (EXn–1 + EXn–2 + ... + EXn–6) + 1.
Обозначая для краткости EXk = ek, запишем рекуррентную формулу: en = 1/6 (en–1 + en–2 + ... + en–6) + 1. (1)
Полученная формула справедлива для всех n ≥ 1, если положить EXk = 0 при всех k ≤ 0.
Из (1) можно получить другую формулу. Запишем равенство (1) для en–1: en–1 = 1/6 (en–2 + en–3 + ... + en–7) + 1.
Теперь вычитая второе равенство из первого почленно, получим: en – en–1 = 1/6 (en–1 – en–7), откуда en = 7/6 en–1 – 1/6 en–7. (2)
При выводе этой формулы уже предполагалось, что en–1 > 0, поэтому по ней можно считать en, только начиная с n = 2.
Поскольку e1 = 1, по формуле (2) последовательно вычисляем: e2 = 7/6·1 – 1/6·0 = 7/6; e3 = 7/6·7/6 – 1/6·0 = 49/36; e4 = 7/6·49/36 – 1/6·0 = 343/216, ...,
e2010 ≈ 574,761904.
Ответ
≈ 574,761904.
Замечания
1. Создается впечатление, что математические ожидания образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 7/6. Это никак не согласуется с тем интуитивно очевидным фактом, что число бросаний должно расти примерно как арифметическая прогрессия с разностью 2/7 – ровно 2 броска в среднем нужно сделать, чтобы увеличить сумму на 7. Конечно, впечатление ложное – геометрическое возрастание уже после суммы 6 (как только en–7 становится положительным числом) сменяется более медленным ростом и все приходит к ожидаемым значениям.
2. Разумеется, чтобы посчитать e2010, нужно воспользоваться каким-нибудь расчётным средством. Если принять, что искомая величина растёт примерно как арифметическая прогрессия с разностью 2/7, то получим,что e2010 ≈ 2010·2/7 ≈ 574,286. Как видим, погрешность небольшая.
3. Ср. с задачей 65311.
