|
|
 |
Условие
Муха двигается из начала координат только вправо или вверх по линиям
целочисленной сетки (монотонное блуждание). В каждом узле сетки муха случайным образом выбирает направление дальнейшего движения: вверх или вправо.
а) Докажите, что рано или поздно муха достигнет точки с абсциссой 2011.
б) Найдите математическое ожидание ординаты Мухи в момент, когда муха достигла абсциссы 2011.
Решение
а) Муха никогла не попадёт в точку с абсциссой 1, только если она на каждом шаге двигается вверх. Вероятность этого равна 0,5·0,5·0,5·0,5·... = 0.
Таким образом, муха обязательно попадёт в точку с абсциссой 1. Рассуждая точно так же, получим, что рано или поздно муха из точки с абсциссой 1 перейдёт в точку с абсциссой 2. И так далее – рано или поздно муха
достигнет любой целой положительной абсциссы. В частности, абсциссы 2011.
б) В среднем на один шаг вверх приходится один шаг вправо. Значит, на 2011 шагов вправо, следует ожидать 2011 шагов вверх.
Ответ
2011.Замечания
Более строгое рассуждение таково. Обозначим через ξk (k = 1, ..., 2011) случайную величину "увеличение ординаты мухи с момента, когда муха впервые попала в точку с абсциссой k – 1, до момента, когда муха впервые попала в точку с абсциссой k".
Пусть ξ – ордината мухи в момент, когда она достигла абсциссы 2011. Тогда ξ = ξ1 + ξ2 + ... + ξ2011.
Рассмотрим подробнее ξ1. Эта величина – ордината мухи в момент, когда муха впервые попала в точку с абсциссой 1. Несложно понять, как распределена величина ξ1. Для этого достаточно посмотреть на рисунок, где показаны возможные пути мухи в точку с абсциссой 1 и вероятности этих путей. Видно, что P(ξ1 = k) = 0,5k+1.
Поскольку все величины ξk по построению распределены одинаково, Eξ = Eξ1 + Eξ2 + ... + Eξ20111 = 2011·Eξ1 = 2011.
