Задача 65321
|
|
 |
Условие
Точку O, лежащую внутри треугольника ABC, соединили отрезками с вершинами треугольника. Докажите, что дисперсия набора углов AOB, AOC и BOC меньше чем
а) 10π²/27;
б) 2π²/9.
Решение
Упорядочим указанные углы по убыванию: α ≥ β ≥ γ.
а) α + β + γ = 2π, поэтому среднее значение равно 2π/3. Очевидно, каждый угол меньше π,а γ ≤ 2π/3. Значит, D < ⅓ (π² + π² + 2π/3) – (2π/3)² = 10π²/27.
б) Ясно, что α ≥ 2π/3. Поскольку α < π, то β + γ > π, поэтому β > π/2. Из полученных неравенств получаем 0 ≤ α – 2π/3 < π/3, – π/6 < β – 2π/3 < π/3,
– 2π/3 < γ – 2π/3 ≤ 0.
Следовательно, D = ⅓ ((α – 2π/3)² + (β – 2π/3)² + (γ – 2π/3)²) < ⅓ ((π/3)² + (π/3)² + (2π/3)²) = 2π²/9.
