|
|
 |
Условие
У короля Артура два одинаково мудрых советника — Мерлин и Персифаль. Каждый из них находит верный ответ на любой вопрос с вероятностью p или неверный ответ – с вероятностью q = 1 –
p.
Если оба советника говорят одно и то же, король слушается их. Если они говорят противоположное, то король выбирает решение, подбрасывая монету.
Однажды Артур задумался – зачем ему два советника, не хватит ли одного? Тогда король позвал советников и сказал:
– Мне кажется, что вероятность принятия верных решений не уменьшится, если оставлю одного советника и буду его слушаться. Если это так, я должен уволить одного из вас. Если это не так, я оставлю все, как есть. Ответьте
мне, должен ли я уволить одного из вас?
– Кого именно ты собираешься уволить, король Артур? – спросили советники.
– Если я приму решение уволить одного из вас, то сделаю выбор с помощью жребия, бросив монету.
Советники ушли думать над ответом. Советники, повторим, одинаково мудрые, но не одинаково честные. Персифаль очень честен и постарается дать верный ответ, даже если ему грозит увольнение. А Мерлин, честный во всем прочем, в этой ситуации решает дать такой ответ, чтобы вероятность его увольнения была как можно меньше. Какова вероятность того, что Мерлин будет
уволен?
Решение
Мерлин должен рассуждать так.
"Разберёмся, следует ли увольнять советника. Если советник один, то король, следуя его совету, примет верное решение с вероятностью p по любому вопросу.
Что происходит, когда советников двое? Вероятность того, что мы оба даём верный ответ, равна p². Тогда король с вероятностью 1 принимает верное решение. Если оба советника ошибаются (с вероятностью q²), то король принимает верное решение с вероятностью 0. Наконец, если советники расходятся (вероятность 2pq), то король выбирает верное решение с вероятностью ½. По формуле полной вероятности
P(король принял верное решение) = p² + 2pq·½ = p(p + q) = p.
Таким образом, увольнять одного из советников надо.
Если я скажу "Да, нужно увольнять", то есть два варианта.
1) Персифаль тоже скажет "Да" с вероятностью p, и тогда король уволит меня с вероятностью ½.
2) Персифаль ошибется (вероятность q), и тогда король примет решение, бросая монету. Если он решит кого-то уволить (вероятность ½), то это буду я опять же с вероятностью ½.
Таким образом, P(меня уволят, если я скажу "Да") = ½ p + ¼ q.
1. Персифаль скажет "Да" (с вероятностью p), и тогда король может уволить меня, дважды бросая монету (вероятность &№188;).
2) Персифаль ошибётся (вероятность q), и тогда король никого не уволит, поскольку мы скажем одно и то же. Значит, P(меня уволят, если я скажу "Нет") = ¼ p. Очевидно, ¼ p < ½ p + ¼ q. Поэтому я должен сказать "Нет"".
По условию Мерлин найдёт этот ответ с вероятностью p, а с вероятностью q Мерлин ошибётся и поэтому скажет "Да, увольнять". Значит, по формуле полной вероятности: P(Мерлина уволят) = ¼ p·p + (½ p + ¼ q)·q = ¼ p² + ½ pq + ¼ q² = ¼.
Ответ
¼.
